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🔱 Produit matriciel (NumPy)

Le produit matriciel est une opération mathématique omniprésente en science des données. Il s'applique sur deux matrices. Le produit matriciel d'une matrice AA par une matrice BB s'écrit:

A⋅BA \cdot B

En NumPy, on peut calculer le produit matriciel avec la fonction np.dot.

Qu'est-ce que le produit matriciel ?​

Le produit matriciel n'est pas une simple multiplication élément par élément. C'est une opération qui combine les rangées de la premiÚre matrice avec les colonnes de la seconde.

Pour faire le produit matriciel d'une matrice AA par une matrice BB:

  1. Le nombre de colonnes de AA doit ĂȘtre Ă©gal au nombre de rangĂ©es de BB.
  2. La matrice résultante aura le nombre de rangées de AA et le nombre de colonnes de BB.

Formule mathĂ©matique​

Chaque élément cijc_{ij} de la matrice résultat est la somme des produits des éléments de la rangée ii de AA et de la colonne jj de BB.

cij=∑kaikbkjc_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}

Cela correspond mathématiquement au produit scalaire du vecteur rangée ii de AA avec le vecteur colonne jj de BB.

Exemple dĂ©taillé​

Prenons deux matrices :

A=[123456],B=[789101112]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{bmatrix}

Calculons le résultat :

  • Position (0,0) : rangĂ©e 0 de A ⋅\cdot colonne 0 de B (1×7)+(2×9)+(3×11)=7+18+33=58\textcolor{FireBrick}{( 1 \times 7 )} + \textcolor{Green}{( 2 \times 9 )} + \textcolor{RoyalBlue}{( 3 \times 11 )} = \textcolor{FireBrick}{7} + \textcolor{Green}{18} + \textcolor{RoyalBlue}{33} = \textcolor{Orchid}{58}

    [123456]⋅[789101112]=[58.........]\begin{bmatrix} \textcolor{FireBrick}{\textbf{1}} & \textcolor{Green}{\textbf{2}} & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{3}} \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textcolor{FireBrick}{\textbf{7}} & 8 \\ \textcolor{Green}{\textbf{9}} & 10 \\ \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{11}} & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \textcolor{Orchid}{58} & ... \\ ... & ... \end{bmatrix}

  • Position (0,1) : rangĂ©e 0 de A ⋅\cdot colonne 1 de B (1×8)+(2×10)+(3×12)=8+20+36=64\textcolor{FireBrick}{( 1 \times 8 )} + \textcolor{Green}{( 2 \times 10 )} + \textcolor{RoyalBlue}{( 3 \times 12 )} = \textcolor{FireBrick}{8} + \textcolor{Green}{20} + \textcolor{RoyalBlue}{36} = \textcolor{Orchid}{64}

    [123456]⋅[789101112]=[...64......]\begin{bmatrix} \textcolor{FireBrick}{\textbf{1}} & \textcolor{Green}{\textbf{2}} & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{3}} \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & \textcolor{FireBrick}{\textbf{8}} \\ 9 &\textcolor{Green}{\textbf{10}} \\ 11 & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{12}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ... & \textcolor{Orchid}{64} \\ ... & ... \end{bmatrix}

  • Position (1,0) : rangĂ©e 1 de A ⋅\cdot colonne 0 de B (4×7)+(5×9)+(6×11)=28+45+66=139\textcolor{FireBrick}{( 4 \times 7 )} + \textcolor{Green}{( 5 \times 9 )} + \textcolor{RoyalBlue}{( 6 \times 11 )} = \textcolor{FireBrick}{28} + \textcolor{Green}{45} + \textcolor{RoyalBlue}{66} = \textcolor{Orchid}{139}

    [123456]⋅[789101112]=[......139...]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{FireBrick}{\textbf{4}} & \textcolor{Green}{\textbf{5}} & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{6}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \textcolor{FireBrick}{\textbf{7}} & 8 \\ \textcolor{Green}{\textbf{9}} & 10 \\ \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{11}} & 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ... & ... \\ \textcolor{Orchid}{139} & ... \end{bmatrix}

  • Position (1,1) : rangĂ©e 1 de A ⋅\cdot colonne 1 de B (4×8)+(5×10)+(6×12)=32+50+72=154\textcolor{FireBrick}{( 4 \times 8 )} + \textcolor{Green}{( 5 \times 10 )} + \textcolor{RoyalBlue}{( 6 \times 12 )} = \textcolor{FireBrick}{32} + \textcolor{Green}{50} + \textcolor{RoyalBlue}{72} = \textcolor{Orchid}{154}

    [123456]⋅[789101112]=[.........154]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{FireBrick}{\textbf{4}} & \textcolor{Green}{\textbf{5}} & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{6}} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 7 & \textcolor{FireBrick}{\textbf{8}} \\ 9 & \textcolor{Green}{\textbf{10}} \\ 11 & \textcolor{RoyalBlue}{\textbf{12}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ... & ... \\ ... & \textcolor{Orchid}{154} \end{bmatrix}

RĂ©sultat final :

C=[5864139154] C = \begin{bmatrix} \textcolor{Orchid}{58} & \textcolor{Orchid}{64} \\ \textcolor{Orchid}{139} & \textcolor{Orchid}{154} \end{bmatrix}
Attention

Vous pouvez constater que si l'on intervertit AA et BB, le rĂ©sultat n'est pas le mĂȘme.

A⋅B≠B⋅AA \cdot B \neq B \cdot A

Mathématiquement, on dit que l'opérateur n'est pas commutatif.

Utilisation de np.dot​

NumPy rend ce calcul trĂšs simple.

import numpy as np

# DĂ©finition des matrices
A = np.array([[1, 2, 3], 
              [4, 5, 6]])

B = np.array([[7, 8], 
              [9, 10],
              [11,12]])

# Calcul du produit matriciel
C = np.dot(A, B)

print(C)
# Affiche :
# [[ 58  64]
#  [139 154]]
Information

Depuis Python 3.5, vous pouvez utiliser l'opérateur @ qui est un raccourci syntaxique pour le produit matriciel.

C = A @ B  # Exactement Ă©quivalent Ă  np.dot(A, B) pour des matrices 2D
Attention

Une erreur fréquente est d'utiliser l'astérisque * pour multiplier des matrices. En NumPy, * effectue une multiplication élément par élément, ce qui est mathématiquement différent.

Astuce

Pour ne pas avoir d'erreurs, vérifiez toujours les dimensions (shapes) :

(m,n)⋅(n,p)→(m,p)(m, \textcolor{Orchid}{n}) \cdot (\textcolor{Orchid}{n}, p) \rightarrow (m, p)

Les dimensions "intérieures" (ici n\textcolor{Orchid}{n}) doivent correspondre.